|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Aantal mogelijkheden berekenen
Wie zou dan dat diepzinnig getaltechnisch verhaal eens kunnen of willen op papier zetten voor mij?
Antwoord
Dag Rik.
Ik zal eerst je oorspronkelijke vraag maar even herhalen, anders snapt niemand meer waarover het gaat.Dag wisfaq,
A en B stellen 2 positieve gehele getallen met 3 cijfers voor. Vorm nu ook het getal C met 6 cijfers door A en B, in deze volgorde, naast elkaar neer te schrijven.
Bepaal nu A en B zo dat A, B, B-A, C en C/B allemaal volkomen kwadraten zijn. Kan iemand mij helpen?
Leuke vraag eigenlijk wel.
Er is meer dan 1 paar A en B dat voldoet aan de eisen en niet alleen het gegeven antwoord A=225 en B=625.
Laten we eens kijken hoe je enigszins systematisch tot een antwoord kunt komen.
Snap je dat C=1000A+B en dat dus C/B=(1000A+B)/B=1000·(A/B)+1?
En dat als C/B een kwadraat is dat C dat automatich ook is?
Noemen we A=p2 en B=r2, dan volgt uit het gegeven dat B-A een kwadraat is dat B-A te schrijven is als B-A=q2 en dat dan geldt p2+q2=r2
Dus p,q en r vormen een Pythagoreisch drietal.
Als p en r een gemeenschappelijke factor f hebben dan hebben p2, q2 en r2 een gemeenschappelijke factor f2.
Voor het gemak stellen we nu: p=f·m, en r=f·n zodanig dat m en n geen gemeenschappelijke factor hebben.
Dus A=f2m2 en B=f2n2 en B-A=f2(n2-m2).
Vullen we dit nu in in C/B=1000·(A/B)+1 dan krijgen we C/B=1000m2/n2+1.
Wil dit überhaupt een geheel getal opleveren dan moet n2 een deler zijn van 1000, immers m en n hebben geen gemeenschappelijke factor.
Dus n2=1,4,25 of 100.
Verder geldt A B dus mn en daarmee valt n2=1 al af.
n2=4 en m2=1 valt af omdat 4-1 geen kwadraat is
n2=25 combineren met m2=1,4,9 of 16:
25-1=24, geen kwadraat
25-4=21, geen kwadraat
25-9=16: kwadraat
25-16=9: kwadraat
Laten we deze twee eens verder gaan onderzoeken.
m2=9 en n2=25 levert C/B=1000·9/25+1=361=192
m2=16 en n2=25 levert C/B=1000·16/25+1=641 en dat is geen kwadraat.
Goed,
n2=25 en m2=9.
Dus A=9f2 en B=25f2 en 100 A,B999.
f2=16 levert A=144 en B=400
f2=25 levert A=225 en B=625
f2=36 levert A=324 en B=900.
n2=100 laat ik aan je eigen fantasie over maar ik geloof niet dat dat nog nieuwe oplossingen geeft. (Bedenk wel dat m en n geen gemeenschappelijke factor mogen hebben).
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
